Préchauffer le four à 400°F (200°C).
Badigeonnez le filet de bœuf d’huile d’olive, de sel et de poivre. Placez-le dans un plat à rôtir.
Faites rôtir le filet mignon au four préchauffé pendant 25 à 30 minutes ou jusqu’à ce qu’un thermomètre inséré au centre indique 135 °F (57 °C) pour une cuisson mi-saignante.
Retirer du four et laisser reposer 10 minutes avant de trancher.
Pour la sauce, mélanger le vinaigre d’estragon et les échalotes dans une petite casserole à feu moyen. Laisser mijoter jusqu’à ce que le mélange soit réduit à environ 2 cuillères à soupe.
Dans un bol résistant à la chaleur, fouettez les jaunes d’œufs. Incorporez progressivement le mélange de vinaigre réduit.
Placez le bol au-dessus d’une casserole d’eau frémissante (méthode du bain-marie), en fouettant constamment jusqu’à ce que le mélange épaississe.
Retirez du feu et incorporez lentement le beurre fondu jusqu’à ce que la sauce soit épaisse et crémeuse. Incorporez l’estragon haché et assaisonnez de sel et de poivre.
Servir le filet mignon tranché accompagné de la sauce béarnaise.
